Giải 2 bài toán nan giải của thế giới (Phần 1)

ĐỊNH LÝ VỀ TIẾP TUYẾN CHUNG 2 ĐƯỜNG TRÒN VÀ TRUNG BÌNH NHÂN BẬC 3 GIỮA 3 ĐOẠN THẲNG

Tài liệu nầy có sử dụng 1 số khái niệm mới:

– Với 2 đường tròn không giao nhau có 2 loại tiếp tuyến chung; để phân định chúng, đây dùng 2 khái niệm mới:

Tiếp tuyến chung không giao với trục nối 2 tâm gọi tiếp tuyến biên.
Tiếp tuyến chung có giao với trục nối 2 tâm gọi tiếp tuyến chéo.
Đường tròn tiếp xúc với tiếp tuyến gọi đường tròn chứa tiếp tuyến.
Góc tạo bởi trục nối tâm 2 đường tròn và bán kính qua tiếp điểm của tiếp tuyến gọi góc chứa tiếp tuyến.
Độ dài trung trực khoảng cách 2 đường tròn là độ dài đoạn nối từ giao điểm phân giác 2 góc chứa tiếp tuyến biên đến điểm giữa giao điểm 2 đường tròn chứa tiếp tuyến với trục nối 2 tâm.

Dựng hình 2 bài toán nan giải của thế giới:

Bài 1: Chia 1 góc ra 3 góc bằng nhau, ví dụ chia góc xÔy:

Lấy đỉnh O làm tâm quay đường tròn cắt Ox ở A, cắt Oy ở B; dựng tiếp tuyến AZ, trên AZ lấy điểm E với AE= OA, trên đường tròn lấy điểm C đối xứng với A qua OE, nối CE cắt Oy ở U, dựng phân giác góc CÊZ cắt Oy ở I, dựng đường tròn I tiếp xúc AZ ở J, đường tròn cũng tiếp xúc CE ở D (I nằm trên phân giác góc CÊZ), mà CE là tiếp tuyến của đường tròn O (C đối xứng với A là tiếp điểm của tiếp tuyến AZ) CE là tiếp tuyến chéo chung 2 đường tròn O, I. Dựng tiếp tuyến chéo GH đối xứng với tiếp tuyến CE qua Oy. Nối OG và kéo dài cắt AZ ở F, cắt CE nối dài ở S.

Dựng nửa đường tròn đường kính AE, từ F kẽ đường song song với CE cắt nửa đường tròn ở A’, lấy A làm tâm quay cung bán kính AA’ cắt AZ ở F’; Nối OF’ cắt đường tròn O ở G’, từ G’dựng tiếp tuyến với đường tròn O cắt Oy ở U’, trên cung \widehat{AB} lấy điểm C’ đối xứng với G’ qua Oy, nối C’U’ và kéo dài cắt AZ ở E’, cắt OF’ nối dài ở S’; nối SS’ cắt AZ ở V, nối OV cắt đường tròn O ở T; trên cung \widehat{AB} lấy điểm P đối xứng với A qua OV, nối PV cắt Oy ở L, nối LT và kéo dài cắt AZ ở M, nối OM cắt đường tròn O ở W (hình 4).

Bài 2: Dựng khối lăng trụ đồng dạng thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ cho trước:

a)- Phân tích:

Ví dụ: Khối lăng trụ cho trước cạnh a, b, c; khối phải dựng cạnh a’, b’, c’ với \frac{a’b’c’}{abc}=2, tỷ số đồng dạng là K=\sqrt[3]{2}, tức \frac{a’}{a}=\frac{b’}{b}=\frac{c’}{c}=\sqrt[3]{2}\Rightarrow a’= a\sqrt[3]{2}; b’= b\sqrt[3]{2};c’= c\sqrt[3]{2}.

Khai triển cạnh $a=\sqrt[3]{2}: a = a\sqrt[3]{2}\Rightarrow a\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2a}^{3}=\sqrt[3]{aaa\sqrt{2}\sqrt{2}} \Rightarrow a' = \sqrt[3]{aa\sqrt{2}a\sqrt{2}}$ . Tương tự ta cũng có $b' = \sqrt[3]{bb\sqrt{2}b\sqrt{2}},c' = \sqrt[3]{cc\sqrt{2}c\sqrt{2}}$ . Bài toán thành ra dựng trung bình nhân bậc 3 giữa các đoạn $a,a\sqrt{2},a\sqrt{2}; b,b\sqrt{2},b\sqrt{2}; c,c\sqrt{2},c\sqrt{2}$

b)- Tiến hành dựng:

Dựng 2 nửa đường thẳng Ax, Ay vuông góc nhau; lấy A làm tâm quay cung bán kính bằng a cắt Ax ở B; dựng phân giác góc xÂy cắt cung tâm A ở J, từ J dựng đường vuông góc với AJ cắt Ax ở D. Trên Ay lấy điểm O với OA=AD; dựng đường tròn O bán kính OA; trên đường tròn O lấy điểm C đối xứng với A qua OD; nối OB cắt đường tròn O ở G, nối CD và kéo dài cắt OB nối dài ở S. Dựng nửa đường tròn đường kính AD, từ B kẽ đường song song với CD cắt nửa đường tròn ở M, nối AM, lấy A làm tâm quay cung bán kính AM cắt Ax ở B’, nối OB’ cắt đường tròn ở G’; từ B’ kẽ đường song song với CD cắt nửa đường tròn ở M’, nối AM’, lấy A làm tâm quay cung bán kính AM’cắt Ax ở D’; trên đường tròn O lấy điểm C’ đối xứng với A qua OD’, nối C’D’ và kéo dài cắt OB’ nối dài ở S’, nối SS’ và kéo dài cắt Ax ở T, nối OT.

Nối OC, trên OC lấy các điểm với C₁ với OC₁ = b; C₂ với OC₂ = c; từ C₁C₂ kẽ các đường cùng song song với CD cắt OB nối dài ở B₁,B₂, từ B₁,B₂ kẽ các đường cùng song song với Ax cắt OA nối dài ở A₁,A₂; 2 đường thẳng A₁B₁, A₂B₂ nối dài cắt OT nối dài ở T₁,T₂.

Ta có: $AT = a'= a\sqrt[3]{2}, A_{1}T_{1} = b'= b\sqrt[3]{2}, A_{2}T_{2} = c' = c\sqrt[3]{2}$ : cạnh khối lăng trụ đồng dạng thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ cạnh a, b, c cho trước phải dựng (hình 6).

Việc dựng các bài toán trên dựa vào các định lý mới sau đây:

I.- TIẾP TUYẾN CHUNG 2 ĐƯỜNG TRÒN:

A.- MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TIẾP TUYẾN CHUNG 2 ĐƯỜNG TRÒN

Quy vào bài toán dựng hình:

Cho 2 đường tròn (O;R), (O’:R’); nối 2 tâm cắt 2 đường tròn ở M, N; dựng đường tròn K đường kính OO’; từ I điểm giữa MN dựng đường vuông góc với OO’ (cũng là trung trực của MN) cắt đường tròn K ở S, S’; lấy S, S’ làm tâm quay 2 cung cùng bán kính SM=S’M cắt 2 đường tròn ở P, Q và P’, Q’; nối PQ và P’Q’ cắt dường tròn K ở A, B, C, D; nối AC, BD chúng giao với OO’ ở L; từ O, O’ kẽ các đoạn OT, O’T’, O’T”, OT”’ vuông góc xuống AC và BD.

Chứng minh:

1). PQ tiếp tuyến ngoài biên chung 2 đường tròn O, O’ (gọi là tiếp tuyến biên).

2). $SI = \frac{PQ}{2}$ $SI = \frac{PQ}{2} hay SS' = PQ$ .

3). TT’ tiếp tuyến chéo trong chung 2 đường tròn (gọi tiếp tuyến chéo).

4). $\frac{LT}{LT'} = \frac{L0}{L0'} = \frac{R}{R'}$

5). OO’²-PQ2= (R-R’) ².

6). OO’²-TT’²= (R+R’)².

7). PQ²– TT’²= 4RR’.

8). SK trung trực của PQ.

9). $PQ = \sqrt{OI.O'I}$

10). PQ.OO’=2 OS.O’S.

11). AP= BQ AP=AT=BQ=BT”=CQ’=CT’=DP’=DT”’.

12). PQ=AC.

13). TT’=AB.

14). $IK = \frac{R-R'}{2}$

Tóm tắt các định lý và hệ quả:

a. Các định lý: Định lý 1:

Định lý thuận:

Phân giác 2 góc chứa tiếp tuyến biên vuông góc nhau trên trung trực khoảng cách 2 đường tròn $\hat{O_{1}} = \hat{O'_{1}}, \hat{O'_{1}} = \hat{O'_{2}}, OS\perp O'S,$ SI trung trực của MN).